Intruducción

Una estructura algebraica es una n-tuple $(a_1,a_2,a_3,…,a_n)$ donde $a_1$ es un conjunto no vacío, y $(a_2,…,a_n)$ un conjunto de operaciones aplicables a los elementos de dicho conjunto.

Las estructras algebraicas se clasifican según las propiedades que cumplen las operaciones sobre el conjunto dado.

Ley de composicion

La ley de composición es un tipo de operación binaria que toma dos elementos de dos conjuntos dados y los asigna a otro elemento perteneciente a uno de los dos conjuntos.

Ley de composición interna

Dado un conjunto $A$ y una operación $\odot$, que representaremos como el par $(A, \odot)$, se dice que $\odot$ es una ley de composición interna en $A$ cuando

$$
\forall a,b \in A \quad \exists! c \in A : c = a \odot b
$$

Ley de composición externa

Si los dos elementos operados no pertenecen al mismo conjunto la ley de composición es externa.

Ley de composición externa por la derecha

$$
\forall a \in A, \forall b \in B \quad \exists! c \in A : c = a \odot b
$$

Ley de composición externa por la izquierda

$$
\forall a \in A, \forall b \in B \quad \exists! c \in B : c = a \odot b
$$

Principales estructuras algebraicas

Con una ley de composición interna

• Magma
• Semigrupo
• Monoide
• Grupo
• Bucle
• Cuasigrupo

Con dos leyes de composición interna

• Semianillo
• Anillo
• Pseudoanillo
• Dominio de integridad
• Cuerpo
• Retículo (orden)
• Álgebra booleana

Con leyes de composición interna y externa

• Módulo
• Espacio vectorial
• Álgebra sobre un cuerpo

Grupo - Group

Un grupo es una estructura algebraica formada por un conjunto no vacío $G$ dotado de una operación interna $\odot$ que combina cualquier par de elementos para componer un tercero dentro del mismo conjunto y que satisface las propiedades asociativas, existencia de elemento neutro y simétrico.

1. $G$ es cerrado bajo la operación. $\forall a,b \in G, a \odot b \in G$. (Magma)
2. Es asociativa. $\forall a,b,c \in G, (a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)$. (Semigrupo)
3. Tiene a $n$ como elemento neutro. $\forall a \in G, a \odot n = n \odot a = a$. (Monoide)
4. Existe elemento simétrico. $\forall a \in G, \exists b \in G, a \odot b = b \odot a = n$. (Grupo)

Grupo abeliano

Si la operación también tiene la propiedad conmutativa $\forall a,b \in A, a \odot b = b \odot a$ se dice que es un grupo abeliano.

Hay dos notaciones principales para los grupos abelianos: aditiva y multiplicativa

Notación	Operación	Elemento neutro	Potencias	Elementos inversos	Suma directa / Producto directo
Adición	$a + b$	cero 0	$na$	$-a$	a $\oplus$ b
Multiplicación	$a * b$	identidad 1	$a^n$	$a^{-1}$	a $\times$ b

Anillo - Ring

Un anillo es un sistema algebraico dotado con dos operaciones internas llamadas suma y producto.

Sea $A$ un conjunto no vacío, y sean $+$ y $*$ dos operaciones binarias en $A$. Se dice que el conjunto $(A, +, *)$ es un anillo si se cumplen cinco propiedades de grupo abeliano para la suma, y tres condiciones adicionales acerca de la multiplicación

1. $A$ es cerrado bajo la multiplicación. $\forall a,b \in A, a * b \in A$.
2. La multiplicación asociativa. $\forall a,b,c \in A, (a * b) * c = a * (b * c)$.
3. La multiplicación es distributiva respecto de la suma. $\forall a,b,c \in A \quad a * (b + c) = (a * b) + (a * c) \land (a + b) * c = (a * c) + (b * c)$

Si la multiplicación es conmutativa $\forall a,b \in A, a * b = b * a$. se llama un anillo conmutativo.

Si un anillo cuenta con identidad se llama anillo unitario.

Cuerpo - Field

Un cuerpo es un anillo de división conmutativo, un anillo conmutativo y unitario en el que todo elemento distinto de cero es invertible respecto de la multiplicación, es decir, que permiten efectuar las operaciones de sustracción y división. Los cuerpos eran llamados dominios racionales.

• $K$ es cerrado para la adición y la multiplicación
• Asociatividad de la adición y la multiplicación
• Conmutatividad de la adición y la multiplicación
• Existencia de un elemento neutro para la adición y la multiplicación
• Existencia de inverso aditivo, de inverso multiplicativo
• Distributividad de la multiplicación respecto de la adición

Espacio vectorial - Vector space

Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna llamada suma y una operación externa llamanda producto por un escalar.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo escalares.

Suma entre vectores

$$
V \times V \mapsto V
$$

1. Propiedad conmutativa.
2. Propiedad asociativa.
3. Elemento neutro.
4. Elemento opuesto.

Producto por un escalar

$$
K \times V \mapsto V
$$

5. Propiedad asociativa. $\forall a,b \in K, \forall \textbf{u} \in V : (a * b) * \textbf{u} = a * (b * \textbf{u})$
6. Elemento neutro multiplicactiva $n$. $\exists n \in K, \forall \textbf{u} \in V: n * \textbf{u} = \textbf{u}$
7. Propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores. $\forall k \in K, \forall \textbf{u},\textbf{v} \in V : k * (\textbf{u} + \textbf{v}) = k * \textbf{u} + k * \textbf{v}$
8. Propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares. $\forall a,b \in K, \forall \textbf{u} \in V : (a + b) * \textbf{u} = a * \textbf{u} + b * \textbf{u}$

Propiedad

Unicidad del vector neutro

$$
\mathbf{u} + \mathbf{0_1} = \mathbf{u} + \mathbf{0_2}
\Rightarrow \mathbf{0_1} = \mathbf{0_2}
\Rightarrow \exists ! ; \mathbf{0} \in V
$$

Unicidad del vector opuesto

$$
\mathbf{u} - \mathbf{u_1} = \mathbf{u} - \mathbf{u_2}
\Rightarrow - \mathbf{u_1} = - \mathbf{u_2}
\Rightarrow \exists ! - \mathbf{u} \in V
$$

Unicidad del elemento unitario en el cuerpo $K$

$$
\mathit{a} * \mathit{1_1} = \mathit{a} * \mathit{1_2}
\Rightarrow \mathit{1_1} = \mathit{1_2}
\Rightarrow \exists ! ; \mathit{1} \in K
$$

Unicidad del elemento inverso en el cuerpo $K$

$$
\mathit{a} * \mathit{a_1^{-1}} = \mathit{a} * \mathit{a_2^{-1}}
\Rightarrow \mathit{a_1^{-1}} = \mathit{a_2^{-1}}
\Rightarrow \exists ! \mathit{a^{-1}} \in K
$$

Producto de un escalar por el vector cero

$$
\mathit{a} * \mathbf{u} =
\mathit{a} * (\mathbf{u} + \mathbf{0}) =
\mathit{a} * \mathbf{u} + \mathit{a} * \mathbf{0}
\Rightarrow
\mathit{a} * \mathbf{0} = \mathbf{0}
$$

Producto del escalar cero por un vector es vector cero

$$
\mathbf{u} =
\mathit{1} * \mathbf{u} =
(\mathit{1} + \mathit{0}) * \mathbf{u} =
\mathit{1} * \mathbf{u} + \mathit{0} * \mathbf{u} =
\mathbf{u} + \mathit{0} * \mathbf{u}
\Rightarrow
\mathit{0} * \mathbf{u} = \mathbf{0}
$$

Subespacio vectorial

Sea $V$ un espacio vectorial sobre $K$, y $U \subset V$ no vacío, $U$ es un subespacio vectorial de $V$ si:

i. $\forall \textbf{u}, \textbf{v} \in U, \textbf{u} + \textbf{v} \in U$
ii. $\forall \textbf{u} \in U, \forall k \in K, k \textbf{u} \in U$

Combinación lineal

Dadoo un espacio vectorial $S$, diremos que un vector $\textbf{v}$ es combinación de los vectores de $B = {e_1, …, e_n} \subset S$ si existen escalares $k_1, …, k_n$ tales que

$$\textbf{v} = k_1e_1 + … + k_ne_n$$

Notamos como $\langle B \rangle_S$ el subespacio vectorial formado por el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de $B$.

Independencia lineal

Diremos que un conjunto $B={e_1, …, e_n}$ es linealmente independiente si el vector cero no se puede expresar como combinación lineal no nula de los vectores de $B$.

Base de un espacio vectorial

Una base es el menor conjunto $B$ de vectores que generan todo el espacio. Y cualquier vector $v$ puede ser expresado unívocamente como una suma de elementos de la base.

Dimesión

Dado un espacio vectorial sobre $K$.

• Si tiene base finita diremos dimensión al número de elementos de dicha base.
• Si tiene base no finita diremos que es de dimensión infinita.

Intersección de subespacios vectoriales

$$
F \cap G := {\textbf{u} : \textbf{u} \in F, \textbf{u} \in G}
$$

Suma de subespacios vectoriales

$$
F + G := {\textbf{u} = \textbf{v}_1 + \textbf{v}_2 : \textbf{v}_1 \in F, \textbf{v}_2 \in G}
$$

Suma directa de subespacios vectoriales

$F + G$ es una suma directa $F \oplus G$ si $S \cap G = \emptyset$

Aplicaciones lineales

Son aplicaciones entre espacios vectoriales que mantienen la estructura de los espacios vectoriales, es decir, conservan las dos operaciones y las propiedades de estas de uno a otro de dichos espacios

Dado dos espacios vectoriales $E$ y $F$ sobre un mismo cuerpo diremos que un aplicación $f: E \mapsto F$ es lineal si:

$$
f(\textbf{u} +_E \textbf{v}) = f(u) +_F f(v)\\\\
f(k *_E \textbf{v}) = k *_F f(v)\\\\
$$

Módulo - Module

Un módulo sobre un anillo es una generalización de la noción de espacio vectorial sobre un cuerpo, donde los correspondientes escalares son los elementos un anillo (con identidad) arbitrario y donde está definida una multiplicación (a la izquierda y/o a la derecha) entre elementos del anillo y elementos del módulo.

Sea $A$ un anillo con identidad y sea $1_{A}$ su identidad multiplicativa. Un $A$-módulo izquierdo de $M$ o simplemente $A_M$ es un grupo abeliano $(M,+)$ y una operación $A \times M \mapsto M$ tal que para cualesquiera $r,s \in A$, $x,y \in M$, se tiene

1. $(r * s) *x = r * (s * x)$
2. $(r + s) * x = r * x + s * x$
3. $r * (x + y) = r * x + r * y$
4. $1 * x = x$

Un $A$-módulo derecho de $M$ o $M_A$ se define de forma semejante, sólo que el anillo actúa por la derecha. $M \times A \mapsto M$. Si $A$ es conmutativa, entonces $M_A$ es lo mismo que $A_M$.

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